郭贵春/孔祥雯:重建数学范畴结构主义的意义

2017-08-17 10:19 来源:《哲学动态》 作者:郭贵春 孔祥雯

Significance of Reconstructing Mathematical Constructivism

  作者简介:郭贵春,孔祥雯,山西大学科学技术哲学研究中心。

  内容提要:结构主义作为当前数学哲学的主要研究趋势,推动着数学基础研究更加深入和多元地发展。范畴论思想的引入为结构主义提供了一种新的解释路径,形成了范畴结构主义的研究方向,使数学基础不再局限于集合论的研究模式,为解决数学基础问题提供了新的可能。

  关键词:范畴论/结构主义/数学基础

  原发信息:《哲学动态》第20173期

 

  数学基础争论贯穿整个数学哲学的发展历程,早在毕达哥拉斯学派时期,有关数学基础的探讨就初见端倪。19世纪,数学在深度和广度上都呈现出高速发展的态势,纷繁复杂的数学分支极大地推进了哲学家寻找数学基础的步伐。考虑到范畴论在不同数学分支中的广泛应用性,数学哲学家开始聚焦范畴论的基础作用,并针对范畴结构主义的研究进路提出了不同的见解。通过分析及辩驳范畴结构主义在数学基础争论中所面临的挑战与质疑,并结合范畴结构主义的自主性论证,我们力图诠释范畴论的基础研究进路。

  一 范畴结构主义的提出

  20世纪初,结构主义的发展从人文社会科学逐步推广到自然科学,并悄然登上数学哲学的研究舞台。布尔巴基(Bourbaki)学派作为研究数学结构的先导,最先使用集合论的语言刻画数学结构。随着数学学科的不断发展,范畴论开始在数学实践中崭露头角,并先后应用于拓扑学、同调代数、代数几何等数学分支。至20世纪60年代,拉夫尔(Bill Lawvere)提议将范畴论作为数学基础,认为范畴论为数学结构提供了新的阐释方式。在此之前,数学结构主义和范畴论各自均已历经数十年的发展,重建范畴结构主义旨在解决始终围绕在数学哲学中的基础争论,为数学基础提供一种新的解释路径。

  当前数学哲学的主要研究趋势是结构主义。数学结构主义的主旨是:数学的研究对象是结构,任何数学分支都可以依据结构进行表述。结构主义至少在两个方面与当前的数学实践是一致的:(1)对象是由结构决定的;(2)数学对象的一些特征,关于数学对象的一些事实,仅仅依赖于它们的结构。①根据结构及结构存在性的定义方式,哲学家区分了不同的数学结构主义。这里主要讨论集合结构主义和范畴结构主义。集合结构主义源于布尔巴基学派,该学派将结构看作对象的域,并在这个域上定义了关系和函数。集合结构主义者认为集合是构建数学分支所需结构的基础,结构上的概念和运算可以被还原为更基本的概念,如集合和从属关系。显然,集合、函数和关系都是集合论中的术语,因此,集合结构主义的基础进路最终还是将数学还原到了集合论上。20世纪30年代,抽象代数的兴起使数学家意识到数学结构的特性和定律具有普遍性和必然性,更重要的是,这些性质明显不同于集合论。20世纪40年代,艾伦伯格(Samuel Eilenberg)和麦克莱恩(Saunders Mac Lane)明确引入了范畴的概念,当时范畴仅作为描述函子的辅助工具,还未显示出其广阔的应用前景。麦克莱恩和艾伦伯格将函子看作集合论中的函数,因此需要设定函子的定义域及值域,而集合论中的定义域和值域都是集合,但他们很快意识到,根据集合论的思想,所有群的范畴、所有拓扑空间的范畴等都不是合理的构造,因而将解决这一问题的思路开始转向范畴论。数学结构主义者指出,数学考察由结构决定的对象,以及具有相同结构和不同结构之间的对象关系,而阐述不同结构之间的对象关系必然需要一种语言和方法,范畴论恰好可以满足这一需求。可以说,范畴论阐明了如何理解给定结构的共同特性以及不同类结构之间的相互联系。到了20世纪50年代末,格罗腾迪克(Alexander Grothendieck)及其学派开始在代数几何学中实质性地使用范畴论,明确定义了阿贝尔范畴(Abelian category),将范畴论真正地推向了数学基础领域。麦克拉蒂(Colin McLarty)指出:“从概念上讲,阿贝尔范畴的公理化不像阿贝尔群公理,它是所有阿贝尔群和其他相似范畴的公理化描述。我们不关注对象和箭头是什么,只关注对象间箭头的存在形式。”②由此可见,范畴结构主义的核心思想是依据存在于对象间的函子刻画结构,但不关心这些对象是什么或由什么组成,也就是说,范畴结构主义只关注结构以及结构之间的关系,不关注结构的构成。范畴的对象不需要像集合那样包含元素,态射也不需要是函数。相对于集合结构主义,范畴结构主义的优势还体现在:其一,同构概念保证了范畴的结构概念在句法上是恒定的。其二,范畴论对结构的描述范围更广,范畴结构主义所描述的一些结构在集合结构主义中并不能算作结构;更重要的是,范畴论为结构提供了统一概念,能够刻画不同数学分支的共同结构特性。

  探讨范畴论是否或在什么意义上可以作为数学基础,要求我们首先明确“基础”的含义。在数学哲学家看来,基础是具有初始对象、关系的理论,并且该理论提供了定义和证明的准则,使其他所有数学理论都能够在这些原始术语中得到阐释;另外,基础必须提供标准,使数学家可以根据该标准获得公理化方法的实质。③根据结构主义的主旨——数学的研究对象是结构,数学哲学家一致认为基础必须体现数学结构主义的本质。值得注意的是,虽然数学哲学家对“基础”的含义没有争议,但他们表达“基础”的方式却不尽相同,并由此形成了不同的数学基础主张,而这些不同的主张在各自的发展过程中彼此借鉴、相互影响。范畴论的基础研究始于拉夫尔,他认为范畴论可以清晰地表达数学结构主义的研究进路,并且这个进路可以拓展和应用于逻辑及数学基础。1964年,拉夫尔发表了《集合范畴的基本理论》(An Elementary Theory of the Category of Sets,一般简称为ETCS)④,将范畴论正式引入数学基础的争论中。1966年,拉夫尔发表了另一篇基于范畴论的结构主义基础进路的文章《范畴的范畴作为数学基础》(Category of Categories As a Foundation,记为CCAF)。在拉夫尔之后,范畴结构主义的基础研究进路得到了一些数学哲学家的大力支持,同时他们主张范畴论的数学基础相对于传统的集合论基础是自主的。当然,基于范畴论的基础研究进路并非一帆风顺,需要我们进一步具体阐述。

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(责任编辑:李秀伟)
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