柏拉图与康德:逻辑主义与直观主义之源

2017-09-30 16:16 来源:《宁波大学学报》 作者:郝一江

 Plato and Kant:Origins of Logicism and Intuitionism

 HAO Yi-jiang

 

  内容提要:文章追溯逻辑主义与直观主义的哲学渊源。逻辑主义源于柏拉图:他提出了化数学为逻辑的思想;他的实在论、唯理论和分析方法,成为从逻辑演绎数学的技术性工作的哲学依据。直观主义源于康德:他提出了用时间、空间直观构造数学的思想;他的概念论、先验感性论和综合方法,成为用时间直观构造数学的技术性工作的哲学依据。

  This paper is a study of the origins of logicism and intuit-ionism.Logicism originates with Plato,who initiates the idea of introducing mathematics into logic and whose realism,rationa-lism and analytic method lay dowm the philosophical foundation of the technical process of converting mathematics to logic.Intuitionism originates with Kant,who develops the idea of co-nstruction of mathematics with the intuition of time and space and whose conceptualism,transcendental aesthetic and synthet-ic method became the philosophical foundation of the technical process of constructing mathematics with the intuition of time.

  关键词:柏拉图/康德/逻辑主义/直观主义/Plato/Kant/logicism/intuitionism

  标题注释:基金项目:本文获1998年度中流文教基金资助。

 

  逻辑主义与直观主义是近代两大数学基础学派。所谓数学基础就是分析数学的概念和命题,看它们能从什么更普遍的概念与原理定义出来。[1](7)高斯、柯西和阿贝尔用实数定义分析;[2](29)魏尔斯特拉斯、戴德金和康托“则把实数定义为由自然数、整数或有理数所组成的一些客体了。因此实数的性质便最后归结于自然数的性质了。”[3](30)

  逻辑主义认为自然数能够用逻辑的概念定义出来。弗雷格说:“数的给出包含着对一个概念的表达”。[3]即对于概念Fx,可以给出数Nx,Nx是关于Fx的谓词NxFx。NxFx可以定义为类F和G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F)。[4]这样自然数被定义为类的类,并且通过自然数,数学被化归为逻辑。逻辑主义的纲领是:“数学是逻辑的一个分支。数学的概念须用逻辑的概念定义。数学的定理须作为逻辑的定理而证明。”[2](44)

  从1897年开始,集合论中发现了悖论,主要有布拉里——福蒂悖论、康托悖论以及罗素悖论。布劳维尔说这是逻辑主义造成的:“经典逻辑是从有限集合和它们的子集的数学中抽象出来的……人们忘记了这个有限的来源,后来就错误地把逻辑看作是高于并且先于全部数学的某种东西,而终于没有根据地把它应用到无穷集合的数学上去了。这就是集合论的堕落和原罪,它正因此而受到自相矛盾的惩罚。”[5](313)直观主义的纲领是:数学先于逻辑,自然数就是数学最后的基础。克伦涅克说:“上帝创始自然数,别的都是人造的”。[6]海丁说:“数学开始于自然数及自然数相等概念形成之后。”[7](159)彭加勒说:“今天,在解析中,仅仅剩下整数,或者说,整数的有穷或无穷的系统被相等或不等的网格约束在一起。”[8]

  逻辑主义、直观主义的技术性工作建立在不同的哲学基础之上。它们各自信奉某种哲学体系,从中汲取思想养料并加以发挥,在本体论、认识论和方法论上为其提供理论支持。逻辑主义的哲学可以追溯到柏拉图。柏拉图在本体论上的实在论、认识论上的唯理论以及分析的方法论,为逻辑主义使用的各种技术手段提供了哲学依据。而直观主义的哲学则源于康德。康德在本体论上的概念论、认识论上的先验感性论以及综合的方法论,为直观主义使用的各种技术手段提供了哲学依据。

  从逻辑演绎数学,在技术上是把数学对象当作独立存在于人心之外的实体。首先,“逻辑主义允许人们不加区别地使用约束变项来指称已知的和未知的、可指明的和不可指明的抽象物。”[9](14)弗雷格把数定义为由类F和集合G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F),如果G和F是无穷类,就不可能逐一建立其元素间的一一对应,因此函项Φ(H,G,F)不可指明。为了从逻辑演绎数学,必须使用约束变项G(H)指称Φ(H,G,F),这就导致把Φ(H,G,F)看成独立实体的实在论。根据实在论,数学实体Φ(H,G,F)独立于人心而存在,即使不能加以指明,它也是独立存在的,因此允许使用约束变项指称它。这对逻辑主义是关键的,如果不能这样使用约束变项,就不能把数定义为类的类,就不能把数学化归为逻辑。其次,逻辑主义使用根据排中律的存在证法。

  可见数学中的逻辑主义就是哲学中的柏拉图主义。逻辑主义信奉“主张共相或抽象物独立于人心而存在,人心可以发现但不能创造它的柏拉图学说。”[9](13-14)彭加勒说:“康托尔主义者是实在论者,甚至在涉及到数学实体的地方也是如此。在他们看来,这些实体似乎具有独立的存在;几何学家并没有创造它们,他只是发现他们……我们在这里辨认出柏拉图(Plato)的理念论。”[10]

  直观主义不是从逻辑演绎数学,而是从时间的直观构造数学。因此直观主义在技术上不是把数学对象当作独立存在于人心之外的实体,而是当作存在于人心之中、由人心构造的对象。首先,“只有抽象物能够由预先指明的诸成分个别地构造出来,才赞成使用约束变项来指称它们。”[9](14)弗雷格把数定义为由类F和G之间的数值等价关系H所决定的等价类G(H)Φ(H,G,F),如果G和F是无穷类,就不可能逐一建立其元素间的一一对应。因此函项Φ(H,G,F)不能被人心根据自然数、从而根据时间的直观构造出来,按照直观主义的技术要求它是不存在的。这是一种概念论的立场,“概念论主张共相存在,但认为它们是人心造作的。”[9](14)其次,直观主义要求证明必须是构造性的。“所谓构造性是指能具体地给出数学对象,或者能给出找数学对象的算法。”[11]这种构造性证明的本体论意义是:数学对象不是独立存在于人心之外的实体,而是人心构造出来的对象,只在人心之中具有它的存在。

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(责任编辑:李秀伟)
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