朱海文:20世纪数学发展谈数学哲学的几个问题

2017-10-19 15:01 来源:《济南大学学报.社科版》 作者:朱海文

  内容提要:通过对20世纪数学的主流--结构数学的一些分析和讨论,指出了数学研究对象主要通过 对现实世界的提炼和数学自身逻辑发展构造而来,这两种类型的对象互相影响,互相渗透。 数学具有经验与演绎双重性质,并且有其超前性。算法思想将成为今后相当长一个时期数学 的主要思想。

  关键词:20世纪数学发展/数学哲学/结构数学/数学对象

 

  一、20世纪数学发展变化的特点

  众所周知,20世纪的数学门类繁多,内容广泛,已经发展到了“隔行如隔山”的地步,但 从20世纪数学理论发展的源流看,它不是从零开始的,它根植于过去数学的土壤之中,一些 新概念、新思想的发生离不开旧的思想方法和理论体系,综合分析20世纪数学思想的发展变 化呈如下的特点:

  1.数学应用的广泛性

  20世纪前本无“纯粹数学”与“应用数学”之分,但自50年代后出现了严重的分化趋势, 西方世界采取行政手段解决这一问题,随之数学研究部门及各大学出现了许多新的系及专业 ,后又发现“纯粹数学”这些高度抽象的数学知识非但没有脱离实际,而且其所有分支都有 引人注目的不可思议的应用价值。例如:拓扑学应用于生物学DNA结构;不动点理论应用于 经济数学;数论应用于计算机科学、编码理论、密码设计技术、通讯理论;抽象代数应用于 计算机科学、控制论语言、晶体物理、机器数学、图象设计;概率论应用于统计力学、量子 化学、农业统计、生物数学、气象预报;超过三维的几何学和拓扑学应用于现代物理等等。

  另一方面,应用科学、工程技术、生命科学以及经济管理科学等领域出现众多的数学问题 又成为“纯数学研究”的课题甚至发展成为一系列新的应用数学分支。例如地质数学、生态 数学、医学数学、金融数学等,发展沿着“良性循环”应用→理论应用→应用,这些抽象化 、概念化的数学非但没有各自为政,互不关联,反而使得大量意想不到的关系不断涌现,给 各种问题的解决提供了新的有力工具,特别是为解决经典问题打开了智慧之门。

  2.数学理论的超前性

  20世纪数学理论的研究对象远远超出经典数学的范围,日益显示出具有超前性和多样性。 这为“广义相对论”、“量子力学”准备了强有力工具。

  Poincare阐明的混沌理论为“现代混沌理论”奠定了思想方法基础;Hausdorff分维理论为 “现代分形几何”建立了理论分析工具;Hamme基础理论为“现代小波理论”的前驱和思想 方法基础,如此等等。

  3.结构数学贯穿在20世纪数学发展的过程中,形成现代数学统一特征的核心

  20世纪数学的主流—结构数学是研究抽象数学结构的科学,它是在集合论的基础上,由传 统的数学方法中产生一批抽象的结构,这些结构大都可以通过公理法来定义,形成自己的问 题 和理论体系,并且衍生出一套相关的结构及理论。例如群可以表示成如下形式:

  二元二次型→型的合成→交换群;代数方程→根的置换→置换群;图形的全同→全同运动 →运动群;射影性质→射影变换→变换群。

查看余下全文
(责任编辑:李秀伟)
更多学术内容,请关注 www.cssn.cn
';?> ';?>